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단위 벡터 (unit vector) 는 크기가 1인 벡터를 말한다. 그리고 어떤 벡터를 단위 벡터로 만드는 것을 정규화 (normalisation) 라고 한다.

3차원 벡터를 아래와 같이 정의하면

$$ u=(x,y,z) $$

이 벡터의 크기는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \left\| u\right\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

이 벡터를 정규화해서 단위 벡터로 만드는 방법은 벡터의 크기로 각 성분을 나누면 된다.

$$ \hat{u}=\frac{u}{\left\| u\right\|}=
(\frac{x}{\left\| u\right\|}, \frac{y}{\left\| u\right\|}, \frac{z}{\left\| u\right\|})=
(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) $$

정규화 한 벡터의 크기를 구하면

$$ \left\| \hat{u}\right\|=
\sqrt{(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})^2, (\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})^2, (\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})^2}=
\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}}  $$

이 단위 벡터의 크기는 1이 되는 것을 알 수 있다.